L'objectif de ce livre est de présenter une méthode méconnue voire nouvelle basée sur le concept du réarrangement relatif qui est le sujet principal de ce livre. Pour ce faire, on a développé des propriétés du réarrangement monotone dont certaines ne se trouvent dans aucun autre ouvrage que dans ce livre (sauf dans des revues) comme les inégalités de Polyà-Szego ou les C_alpha-réarrangements. On y étudie la régularité de la dérivée du réarrangement monotone ainsi que la continuité de cette application dérivée.

On y expose les inégalités ponctuelles de Poincaré-Sobolev qui permettent de retrouver les inégalités classiques de Sobolev, mais aussi toutes sortes d'inégalités du même type liées à n'importe quel espace normé comme les espaces de Lorentz. Ces techniques basées les inégalités ponctuelles entre le réarrangement relatif et monotone sont étendues à des équations aux dérivées partielles relevant de la physique, de la chimie, pour obtenir des résultats de régularité dansdes espaces normés autres que ceux de Lebesgue, des comportements asymptotiques ou des comparaisons de solutions.

We present here a new method for mathematical analysis, especially for obtaining Sobolev inequalities in any normed spaces or Polyà-Szego inequalities or a priori estimates for P.D.E. in non standard spaces as Lorentz spaces or generalized gamma spaces. This method is based on pointwise inequalities linking the derivative of the monotone rearrangement and the relative rearrangement of the gradient of a function. We present some applications in physics, chemistry, or in optimization problems.

Motivations et généralités sur le réarrangement monotone.- Réarrangement relatif.- Inégalités du type Polyà-Szëgo et régularité du réarrangement.- Inégalités ponctuelles et inclusions généralisées de Sobolev.- Formalisme destimations pour les problèmes aux limites.- Continuité de lapplication dérivée du réarrangement monotone : u ? u*?.- Continuité forte de lapplication réarrangement relatif : u ? b*u et conséquences.- Quelques problèmes liés au réarrangement relatif.- Réarrangement relatif dune famille de fonctions et problèmes dévolution.- Exercices et problèmes.- Solutions ou indications.- Commentaires bibliographiques.